Визуальная математика

800 КБ РУС kenokeno.ucoz.ru/doc/davizrus-f23.pdf

800 КБ АНГ kenokeno.ucoz.ru/doc/davizeng-f23.pdf

Копия темы

http://kenokeno.ucoz.ru/publ/vismath/1-1-0-7
http://kenokeno.ucoz.ru/load/vizmath/1-1-0-17
http://kenokeno.ucoz.ru/blog/vizmath/2022-10-11-89

Визуальная математика & Danilin Russians formulas

Надёжность вероятности

Задана вероятность события и надёжность вероятности и возможно рассчитать количество повторений с целью: деление подобных случаев подряд.
P - вероятность случая, например 25% = 0,25 = 1/4 = ¼ = 25/100.
С - надёжность случая, например 99% =0,99 = 99/100.
N - количество подобных случаев подряд.

Совпадение и несовпадение взаимозаменяемы и вероятность совпадения равна единица минус вероятность несовпадения, тогда C=1-c и c=1-C и P=1-p и p=1-P  и данные формулы справедливы для вероятности свыше 50%.

Умножение вероятностей, включая надёжность         C+(1-P)^N=1   [1]
вычисляя степень, вычисляет количество подобных случаев подряд
N = LOG(1-C)/LOG(1-P)    [2]

Пример: надёжность C=99% вероятности P=25%
Нормальное количество подобных подряд N = LOG(1-0,99)/LOG(1-0,25) = 16
и значит на вероятности 25% нормально 16 раз подряд не совпасть
и настоящие математики понимают в формулах различие LOG или LN.

Упрощённо рассчитывает формула         N = 7+(5*(1/P-2))    [3]
Пример: P=0,1 и N= 47 нормально и P=0,78 и N=4 нормально.

Обратная задача: вычислить вероятность случая, если обеспеченна надёжность за данное число случаев    P = 1 - (1-C)^(1/N)  [4]

Рассчитаем надёжность вероятности.

Каждый работник выполняет работу на 78%.
Определить количество работников для выполнения работы на 99%.

Дано: вероятность P=78% и надёжность C=99%.
Формула: C+(1-P)^N=1.

N = LN(1-C)/LN(1-P) = LN(1-0,99)/LN(1-0,78) = 3.
Ответ: необходимо 3 работника.
Деление подобных случаев подряд в реальности: температурные швы рельсов и смена времён года и смена времени суток и дыхание и сон и зарплаты и др.

Проценты

Внеся деньги под P % на Y лет, ожидаем множитель М. M = (1+P/100)^Y    [5]
Проценты         P = -100*(1 -M^(1/Y))    [6]
или     Проценты        P = 100*(M^(1/Y)-1)      [7]
Годы        Y = LOG(M)/LOG(1+P/100)       [8]
 
Инфляция

Инфляция в степени лет вычисляет множитель цен
Inflation ^ Years = Factor       [9]
Инфляция:         Inflation = Factor ^ (1 / Years)    [10]
Годы:            Years = LOG(Factor)/LOG(Inflation)     [11]
Пример: если множитель 12 за 15 лет: инфляция =12^(1/15) = +18%.
Пример: если множитель 12 и инфляция 18%, годы: =LOG(12)/LOG(1,18) = 15лет.


Зарплата

Допустим, несколько работников получают зарплату малую и 1 руководитель получает зарплату большую и требуется найти количество работников для формирования заданной средней зарплаты.

Обозначим: Б = большая получка и С = средняя получка и М = малая получка и Ч = количество работников, получающих мало и значит
(Б+М*Ч)/(Ч+1)=С                    [12]
Ч = (Б-С)/(С-М)                        [13]

Замечание: Excel совместимые программы позволяют присваивать ячейкам имена любые слева от строки формул и возможны формулы на русском языке.

Пример: Б = 300 и М = 28 и С = 45 и значит Ч = (Б-С)/(С-М) = (300-45)/(45-28) =
= 255/17 = 15 человек и проверка: =(300+28*15)/(15+1) = 45.

Замечание: математические программы вычисляют Ч = (С-Б)/(М-С).

Формулы подробно:

(Б+М*Ч)/(Ч+1) = С    Б+М*Ч = С*(Ч+1)    Б+М*Ч = С*Ч+С
С*Ч-М*Ч = Б-С    Ч*(С-М) = Б-С    Ч = (Б-С)/(С-М)
 

Производная

Производная: тангенс угла наклона касательной графика функции.

Производная 1-я: минимакс функции.
Визуально: горизонтальная касательная графика функции.

Производная 2-я: перегиб функции.
Визуально: изменение направления углового движения касательной графика.

Путь и производная 1-я: скорость.
Производная 2-я: ускорение и производная 3-я: старт.

 
Интерполяция и экстраполяция

Переменные упорядочены и создаётся трапеция x1 y1 y3 x3 и искомое: y2 от x2.
 

y2=y1+(x2-x1)*(y3-y1)/(x3-x1)                     [14]

Замечание: в Excel формула может вставляться в стандартные ячейки Y2 и др.
Замечание: интерполяция возможна через графические программы.
Замечание: возможна интерполяция: 4-х ячеек и таблиц целиком.


Excel формулы

Дано: Excel таблица умножения и множители по горизонтали и по вертикали.

Произведение рассчитывает формула                 =B$1*$A2        [15]
где знак $ делает постоянными в формуле строку или столбец
и формула расширяется на ближайшие ячейки.

Если знак $ назначен строке и столбцу одновременно:     =$B$1*1000    [16]
Ячейка с 2-мя знаками $: константа постоянная при копировании и вставке.



Word автоматизация

Word может автоматически нумеровать порядковые величины, например номера пунктов или номера изображений или номера формул и перестановка абзацев обеспечивает номера по порядку.

Word включает колонтитулы для оформления повторяющихся элементов.

Word может автоматически нумеровать страницы и пишет количество страниц.

Word формулы возможно оформить в таблице, задав невидимые границы ячеек.

Word может заменять символы используя специальные символы, например множество Enter подряд заменяется на 2 Enter.

 
Комбинаторика

Количество комбинаций по 2 символа. Практически: транспортная задача.
N = X * (X-1) / 2    
 

X=5     a b c d e     N=5*4/2=20/2=10     ab ac ad ae bc bd be cd ce de
X=4     a b c d     N=4*3/2=12/2=6         ab ac ad bc bd cd
X=5         a b c d e         N=5*4/2=20/2=10     ab ac ad ae bc bd be cd ce de

Связи 2-х точек шифруют 2 бита 2-чной записи вида DA = 1001. 
Транспортная задача: количество связей по 2 точки. 
Возможны сочетания по 2 темы данного сборника. 

Сортировка половинами

Сортировка пузырьковая массива преобразуется в несколько: от 2 до 8 малых частей сортировки массива и суммарно сортировка ускоряется до 16 раз.

Рекурсивная реализация сортирует 1 000 000 элементов за 0,3 секунды.
 
Количество перестановок бывшее Z=N*(N-1)/2, улучшается до:
Z = log(N;2)*(N/log(N;2)*(N/log(N;2)-1)/2+2*N/log(N;2))         [18]
Посчитайте самостоятельно в Excel, присвоив любой ячейке имя N.

Определения

Интеграл: сумма умножений количества и качества.
Логарифм: число умножений до нужного результата.
Факториал: умножение от 1 до нужного числа.
Производная: тангенс угла наклона касательной графика.

Процент: 1 из 100 частей и промилле: 1 из 1000 частей. 
Вероятность: возможность события 0 <= P=события/варианты < 100 %. 

Интеграл: от слова целый.
Логарифм: от слова отношение.
Факториал: от слова умножающий.

 
Интеграл

Постоянная величина: время, секунд.
Удельная величина: скорость, метров в секунду.
Периоды времени: 1 секунда.

Каждый квадрат произведение: время секунд
умножается на скорость метров в секунду и получается путь, метров.
 

Суммируя весь путь за данное время и распределяя равномерно:

 
По вертикали средняя скорость 3 метра в секунду, показывает
среднее значение интеграла.


Угадать число

Компьютер угадывает число X, загаданное автоматически или человеком,
за количество шагов логарифмическое     N = LOG(X;2)                [19]
Плюс угадывание начинается из середины массива оптимально.

Например, 1 из миллиарда равно 1 из X=10^9, угадывается за N=30 ходов:
N = LOG(10^9;2) = 30

Зависимость 10-чных и 2-ичных:     10^3 = 2^10                     [20]
Количество N угадываний X: на каждое увеличение X в 1000 раз +10 угадываний.
 
Биномиальность

Биномиальность: каждый элемент превышает следующий примерно в 2 раза.
Биномиальное распределение процентов: 56 +24 +14 +6 = 100.

    

Квадрат 10x10 = 100 клеток делит точка в месте 2 на 3 клетки
и получаются целые зоны 2x3=6 и 2x7=14 и 3x8=24 и 7x8=56.

Возможно, свойственно процессам, где создаётся таблица 2 на 2 элемента
и заметна закономерность: 24% в 4 раза больше 6% и 56%/14% =4.

Массив тысяч случайных элементов 10101 создаёт цепочки подобных подряд и одинаковое количество цепочек подряд распределяется биномиально, вида:
1 подряд 64 штуки, тогда 2 подряд 32 штуки и т.д., значит исследуемый массив, распределивший цепочки подряд биномиально: случайный и даже квантовые случайные подчиняются закономерности биномиального распределения. 
Общая формула x+2x+4x+8x=100 и x=6,67 и отношения 80%\20% и 70%\30%.

Паттерн

События 2-ичные контролирует перемножение событий, включая функции =НЕ()
X = (A1 | НЕ(A1)) ... * … * (AN | НЕ(AN))  = ( 0 | 1 )            [21]
Пример: найти событие вида 1010011:
=A1 *НЕ(A2) *A3 *НЕ(A4) *НЕ(A5) *A6 *A7 =        ( 0=нет | 1=да )
Замечание: исследуемые большие данные возможны в ячейках не подряд.

Другой паттерн проверяет перемешаны все ли числа подряд от 1 до N:
для "2 4 5 3 1" = 2^2 +2^4 +2^5 +2^3 +2^1 = 62 = 2^(N+1)-2  [22]

Перестановки

Дано: 5 книг нужно прочитать по порядку.
Найти количество вариантов прочтения книг.

Распределяем книги по списку:

1-я книга может быть прочитана на любом месте из 5
2-я книга может быть прочитана на любом месте из 4
3-я книга может быть прочитана на любом месте из 3
4-я книга может быть прочитана на любом месте из 2
5-я книга может быть прочитана на любом месте из 1

Перемножая: =1 *2 *3 *4 *5 = 120 вариантов порядка прочтения 5 книг.

Количество перестановок вычисляет факториал числа.

Математика

Сначала изучается сложение целых цифр 
далее сложение целых чисел 
далее умножение целых цифр
далее умножение целых чисел 
далее сложение нецелых чисел 
далее умножение нецелых чисел: интеграл  
далее целые степени целых цифр
далее целые степени целых чисел 
далее целые степени нецелых чисел 
далее нецелые степени нецелых чисел: логарифм. 

Логика 

Индукция: рассуждение от частного минимального 
индивидуального к общему максимальному

Дедукция: рассуждение от общего максимального 
к частному минимальному индивидуальному 

Пи

Длина окружности  L = 2πR = πD 
Площадь круга         S = πR²  = πD2/4 
 

Квадрат решений 

Варианты 2 количественные и 2 качественные создают 4 комбинации 

если событие произойдёт: что будет ? 
если событие не произойдёт: что будет ? 
если событие произойдёт: чего не будет ? 
если событие не произойдёт: чего не будет ? 

Пример: транспортная задача создаёт свой квадрат решений.

Пропорция Excel 

Заполняются 3 ячейки A1, B1, A2
и задаётся формула в ячейке         B2 =B1*A2/A1                    [23]

Пример: рассчитывается масштабирование видео и разрешение экрана. 

    A    B        Excel    A    B
1    A1    B1        1    16    9
2    A2    B2        2    1280    720

Интеграл геометрический

Интеграл: площадь фигуры между вертикалями 
Интеграл 2-ной: площадь фигуры между графиками
Интеграл 3-ной: объём тела между графиками 
Интеграл N-ной: включает качественные признаки вида масса. 

Задача Рюкзак 0-1 двоичный Knapsack

Требуется интегрально собрать набор из множества предметов, 
имеющих ценность и массу, ограничив максимум массы, 
с целью получить наибольшую ценность. 

Понимая: вещь в наборе либо есть, либо нет, составляются 
всевозможные комбинации N элементов в количестве =2^N, 
например при N=5 синтезируются шифры от 00000 до 11111 
и в результате выясняется наиболее ценный интегральный набор. 

Алгоритм Рюкзак 0-1 двоичный Knapsack реализован на многих языках 
программирования и проверяется через интернет онлайн компиляторы. 

Деление подобных событий подряд 

Моделирование процессов, где несколько затрат подряд вида пассив
и далее 1 успех вида актив, создают в результате график растущий. 

Научное название: кластеризации волатильности. 

Скорость 

Скорость из километров в час в метры в секунду переводит формула из расчёта 36 км/ч = 10 м/с   V(м/с) = V(км/ч) / 3,6  [15]
V(км/ч) = V(м/с) * 3,6        [16]
Полезно переводить в уме скорость километров в минуту в метры в секунду 
1 км/минуту = 60 км/ч = 16,7 м/с   [17]
Примеры: 20 м/с = 72 км/ч = 1,2 км/мин или 8000 м/с = 28800 км/ч = 480 км/мин.

Сортировка и перетасовка Excel 

Сортировка Excel возможна для 1 столбца и для нескольких связанных столбцов. 
Перетасовка Excel происходит через упорядочивание случайных значений ячеек, созданных формулой вида         =случмежду(1;1000)   [29]
Далее скопировав случайный массив и вставив в свободный столбец как «Специальная вставка – Значения» и сортировав связанный список с данными. 

Делимость

Число делится на 2,     если крайняя правая цифра     делится на 2.
Число делится на 3,     если сумма всех цифр         делится на 3.
Число делится на 5,     если крайняя правая цифра     делится на 5.
Число делится на 9,     если сумма всех цифр         делится на 9.

Число делится на 11,     если сумма всех цифр на чётных местах 
равна сумме всех цифр на нечётных местах.

Олимпийские оценки 

Оценки интегрально учитывают количество и качество медалей. 
Пирамида оценки = золото *3 + серебро *2 + бронза    [42]
Высокие оценки получают мало стран и возможно объединять страны. 

Рычаг

Рычаг уравновешивает интеграл каждой из 2-х сторон через 
момент кг*м, равный произведению: масса P кг умножается на плечо L м

M1 = P * L   и   M2 = P * L    [45]

Если плечо L м уменьшено в 2 раза, став L/2 м,
тогда равновесие создаст масса 2*P кг в 2 раза больше 

P * L = 2*P * L/2 = P * L      [46]

Путь

Оптимальный путь выбирается как максимальная сумма интегралов пользы
и сравниваются варианты движения на каждом шагу. 

Если на плоском поле рассчитаны значения пользы на каждый шаг, 
тогда визуализация показывает объёмы: максимумы красного цвета 
создают оптимальный путь     

Квадраты

Квадрат максимальный включает квадрат с2 
и треугольные поля I-IV, если переставить иначе, 

очевидно:  a2 + b2 = c2     [47]
и     
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2       [48]

Сечение воздуховода и Диаметр трубы 

Сторона сечения канала d, м, зная расход L, м3/ч и скорость воздуха v, м/с
d = корень(L/(v*3600))                     [50]

Диаметр d, м, зная нагрузки Q, Гкал/ч и температуру теплоносителя T1 и T2 оС 
или расход G, м3/ч и задав плотность воды r, кг/м3 и скорость воды v, м/с
G = Q *1000 / (T1-T2)                         [51]
d = 2*корень(G/(3,6*r*v*pi()))                    [52]

MathSolver

mathsolver.microsoft.com/ru/solve-problem/C+%7B%60left(1-P%60right)%7D%5E%7BN%7D%3D1
 

mathsolver.microsoft.com/ru/solve-problem/0.99%2B{`left(1-0.25`right)}^{N}%3D1
 




 
 
WolframAlpha

wolframalpha.com/input/?i=solve+C%2B%281-p%29%5EN%3D1+for+N

wolframalpha.com/input/?i=solve+%28B%2BM*H%29%2F%28H%2B1%29%3DS+for+H

 

 
 
 
 
Догон

Если задан коэффициент К: множитель ставки M: М=1+(1/(К-1))              [22]
Если коэффициент К=3 множитель ставки минимум М=1+(1/(3-1))=1,5.


Квадрат экономии

Игрок всегда в худшем положении относительно организатора игры
и преимущество игрока: отказ от игры и отказ от повышения ставок,
а также понижение ставок после выигрыша,
причём понижая ставки, могли выиграть в классике «Пиковая дама».

Квадрат экономии: рост ставок вертикально и равные ставки горизонтально,
всегда математически обосновано: выигрыш поглощает проигрыш вертикали,
и проверяем примерный квадрат экономии под коэффициент 3 вероятности 1/3:

Ставка 13 выиграв поглощает нижние: =+13*3 -8 -5 -3 = +23 и так же остальные затраты и чем выше по вертикали, тем больше отдача при выигрыше.

Пример движения ячеек, реализуемый на бумаге или программно или в Excel
 
Выйдя в плюс, квадрат экономии возможно восстановить и начинать с начала.


Парадоксы вероятности

Деление подобных случаев подряд возможно повышает вероятность успеха,
где количество подобных случаев подряд меньшее нормальное.

Визуально представляя рост вероятности угадать,
ставка после сигнала к ставке, когда вероятность уменьшилась.
 
Выигрышность

Интеграл выигрыша: сумма произведений вероятностей на коэффициенты.
V = P1*K1 + P2*K2 + … + PN*KN                    [23]
Пример: угадав вероятность 6% коэффициент 10 и угадав вероятность 38% коэффициент 1, значит V = 0,06*10 + 0,38*1 = 0,98 = 98%.

Пример Excel: =10*гипергеомет(2;2;20;80)+1*гипергеомет(1;2;20;80) =0,981.
Пример Excel: =2*гипергеомет(1;1;18;37) =3*гипергеомет(1;1;12;37) =0,973.

Количество комбинаций Excel: =1/гипергеомет(5;5;5;36) =376992
Замечание: удобно сравнивать многие лотереи.



Выигрышность зависимых событий

Определить выигрышность множества зависимых событий зная коэффициенты.
Формулировка: сумма коэффициентов делить на квадрат количества должно быть больше единицы         (K1 + K2 + ... + KN) / (N^2) > 1            [24]

Пример: =(2,4+2)/(2^2) = 4,4 / 4 = 1,1 > 1 значит выигрышно
при ставке на оба события при условии выигрыша одного из события.

Замечание: система датчинг, плюс лучше понимать простые дроби, например
вида 5/4>1 и 4/5<1, понимая: больше 1 или наоборот.

Замечание: наиболее логичное применение: ставки на выборы или
ставки на события с множеством вариантов вида «победа в 1-й тайм и в матче».



Выигрышность противоположных событий

Определить выигрышность нескольких противоположных событий что обычно называется «вилка».

Формулировка: произведение коэффициентов минус каждый коэффициент должно быть больше нуля.         К1 * К2 -К1 -К2 > 0                 [25]

Пример: = 1,2 * 8 -1,2 -8 = 0,4 > 0 значит «вилка» есть и выигрыш есть.
Замечание: математический курьёз для выигрышей если 2 варианта.

Пиковая дама и управление рисками

Повесть "Пиковая Дама" рассказывает, как главный герой участвовал: 

сначала = 47 -47 + 2*47 = 94
и далее = 94 -94 + 2*94 = 188 
и далее = 188 -188 +0 = 0,

проиграв свои 47 тыс.рублей и выигрыши.

Если бы главный герой применил управление рисками 
и участвовал математически понижая ставки в 2 раза:

сначала = 47 -47 + 2*47 = 94
и далее = 94 -23,5 + 2*23,5 = 117,5 
и далее = 117,5 -11,75 +0 = 105,75.

Значит главный герой, понижая ставки, получил бы 105,75 тыс.рублей
и даже проигрыш на 2-м или на 3-м ходу оставил бы баланс в плюсе.

Задача 1

2 пешехода на расстоянии 10 км вышли навстречу друг другу

Скорость 1-го пешехода 2 км/ч.
Скорость 2-го пешехода 3 км/ч.
От 1-го пешехода вылетает дрон на одной высоте со скоростью 10 км/ч.

Дрон долетает до идущего навстречу пешехода и поворачивает обратно.
Дрон летал между пешеходами всё время пока пешеходы встретились.

Вопрос: какое расстояние пролетел дрон?

Задача 2

Самолёт на высоте 5000 м. 
Сколько расстояние до горизонта?

Задача 3

Дано: 9 шаров, из них 1 шар легче. 
Определить лёгкий шар за 2 взвешивания. 

Задача 4

Бутылка пластиковая прозрачная закрытая заполнена водой 
примерно на половину. 

Определить за секунду: половина ли воды в бутылке 
или воды больше половины или воды меньше половины. 

Задача 5

Самолёт пролетел на юг 500 км.
Далее самолёт пролетел на восток 500 км и на север 500 км. 
В результате самолёт вернулся в исходное место старта. 

Вопрос: откуда самолёт стартовал?
Подсказка: решение не единственное.

Задача 6

Уровень жидкостной показывает горизонталь.
Выяснить вертикаль. 

Надёжность вероятности Деление несовпадений подряд

Учу EXCEL за 6 минут